本人是数学专业的学生，在学习 McDuff&Salamon 的辛拓扑时被引入的概念弄得眼花缭乱，于是决定干脆直接学学经典力学，获得一些直观，但很快发现迷糊程度不相上下（XD）
但自己挖的坑跪着也要填完，因此向坛友询问一些蒙古之处。
在我查阅的许多资料与文章（恕难逐一引用）中，Hamilton 力学系统之所以演进到辛流形，有以下几个原因
1. 有的相空间确实不能表为余切丛的形式，如数学栈交换中的这个回答 ，抑或者如陈童老师在《从哈密顿力学到辛几何》中举的经典自旋的例子。在此时，真实路径（正则方程的解）只能理解为其上 Hamilton 量的相流。
这些理由确实说服了我，亦即 Hamilton 力学（适用于辛流形）比 Lagrange 力学（适用于速度相空间，亦即位形流形上的切丛）适用范围更广，且有必要将 Hamilton 力学从余切丛扩展到辛流形上。
但正如标题“到底什么是正则变换？”，本人在此之前查找了别的解释，所以我们还是回到从余切丛作延伸的进路中来。
2. 使得辛势$\mathbf{p}\operatorname{d\!} \mathbf{x}$中广义动量与广义坐标更加对称。
但本人完全无法从中看到什么所谓对称的美感。归根结底，辛势还是定义在位形流形的余切丛上的，余切丛上的纤维与底空间就不可能平等。真正需要对称，确实需要过渡到辛流形。不过辛流形的标准定义 中只要求了$\omega$是闭的，假如需要保留最小作用量原理，我们就还应该保留辛势，以保证真实路径是辛作用量的泛函极值。于是我就暂定一个Hamilton系统的相空间应该形如$(M,-\dd\alpha)$的形式，其中$\alpha$是$M$上的一个$1$-形式，而一条道路$\gamma\colon [a,b]\to M$的辛作用量则形如：
$$
\int^b_a (\gamma^*\alpha-H\dd t)=\int^b_a (p\dd x-H\dd t)
$$
3. 在正则变换下，辛势的变化会形如$\Theta'=\Theta+\dd F$，而正则变换不改变 Hamilton 正则方程，因此辛势的选取具有一定的任意性，所以应该选取$\omega:=\dd \Theta$作为相空间的基本结构.
这就是我发帖的原因：在物理上怎么理解正则变换？在数学上，正则变换无非就是辛自同胚，但它背后是怎样的物理呢？对此我本人有以下几个疑问：
1. 正则变换是不是一种“变换参考系”？：陈童老师指出，物理学的能量守恒这一套范式的直接体现，便是封闭 Hamilton 系统中不含时的 Hamilton 量。但我们知道，能量在任意的参考系变换下无法守恒：譬如在单自由度粒子系统下，$H(x,p)=p^2/2+V(x)$，在$(x,p)\mapsto(x,p+p_0)$的参考系变换下，$H'(x',p')=(p')^2/2+V(x')=(p+p_0)^2/2+V(x)$，但这两种参考系都能刻画粒子的运动，所以我们应该允许这种变化。
这一理解就引出这样的问题：在经典力学体系中，能否谈论什么是参考系吗？在高显老师的《经典力学讲义》中，将参考系定义为时空或时空某区域内的一个类时线汇(congruence of timelike curves)。但时空流形更类似位形流形而非相空间，对于不是余切丛的相空间，似乎没有一个有意义的“参考系”的说法（因为甚至无法区分广义坐标和广义动量）。那这种理解是有问题的吗？可以在何种意义下得到拓展呢？
2. 怎么理解“生成函数”？：知乎用户@東雲正樹 在对正则变换的介绍 中提到正则变换前后 Hamilton 量的形式将会改变，而这种改变可以由一个生成函数刻画（至少在局部上成立，因为Poincaré 引理，局部上闭形式都是恰当形式）。可是这个生成函数的物理意义是什么呢？我们注意到生成函数给出的Hamilton量的刻画是：
$$
H'=H+\dfrac{\partial S}{\partial t}
$$
此处要对生成函数求关于时间的偏导，而物理时间是 Hamilton 系统的外生变量（因为绝对时空观），因此这意味着必须在已经得到原先 Hamilton 系统的真实路径的信息后，根据生成函数在真实路径上的运动得到这一信息。由此观之，Hamilton-Jacobi 方程和 Hamilton 正则方程应该是等价的（根据原知乎用户@埃格先生 在《微分几何与经典力学初步》中的考据，Hamilton 正则方程正是 Hamilton 在推导 Hamilton-Jacobi 方程时得到的一个中间量）。而生成函数，以第一型生成函数为例，$S(x,x') $所代表的，不恰恰是“以$x$,$x'$为始末位置，能够连接这两点的真实路径的辛作用量”吗？而$\partial_tS$，则正是$S$与$H$的Poisson括号$\{S,H\}$.McDuff & Salamon 在辛拓扑导论中的定义则更加显明了这一点（如下图）。
于是这就不禁让人怀疑，生成函数真的有在刻画些什么吗？Hamilton-Jacobi 方程既然不能提供新的信息，只是形式化地将广义坐标与广义动量变成了守恒量，它在什么方面提供了好处呢？
在数学上依然可以很方便刻画它。对辛流形$(M,\omega)$，其上的 Hamilton 自同胚群是辛自同胚群的正规子群，即$\operatorname{Ham}(M,\omega)\vartriangleleft \operatorname{Symp}(M,\omega)$，共轭作用由$\psi\circ \varphi_H\circ \psi^{-1}=\varphi_{H\circ \psi^{-1}}$给出。
则生成函数可以说明辛流形上 Hamilton 自同胚群自身的伴随作用：用$\varphi_H$记$H$生成的 Hamilton 自同胚，用$X_H$记$H$生成的Hamilton向量场。则对于任意两个函数$H,S$，则$\mathrm{Ad}_{\varphi_S}X_H=X_{\{H,S\}}$
引入辛自同胚群的作用（尽管它是可怕的无穷维 Lie 群）似乎能更方便引入对称（群作用）、和守恒量（Noether定理与动量映射）？好吧，这可能只是对数学专业的学生来说更加自然了。
在此由衷感谢所有在互联网上分享自己笔记的人，限于篇幅无法逐一感谢。
