设 $x $ 为双缝干涉实验中粒子从点 $a$ 经过双缝 $b $ 和 $c$运动到点 $d $的每个最小路径的概率（双缝干涉的路径是个复合路径$f_{ad}$, 由5段最小路径复合而成[不是最短路径，因为有4个节点，所以这么称呼，也许更恰当的名称为量子路径？]，分别为 $\left.f_{a b}, f_{a c}, f_{b c}, f_{b d}, f_{c d}\right)$ , 那么如下方程
$${\color{Red} x^{3}+2 x^{2}-1=0}$$
为描述粒子的双缝运动概率方程，其中$x^{3}$为干涉或波动项，$2 x^{2}为经典项或粒子项$。
解之可以得到粒子在每段最小路径中运动的概率 $x $ ：
$$\left\{\{x \rightarrow-1\},\left\{x \rightarrow \frac{1}{2}(-1-\sqrt{5})\right\},\left\{x \rightarrow \frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right\}\right\}$$
可以发现, 它有三个解, 其中两个为负值, 概率不能为负可以舍去,剩余的一个解为
$$x \rightarrow \frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})$$
它即粒子在每段最小路径中运动的概率, 恰好是一个黄金分割率，这可能是个有意思的巧合，若计算的不是这个值，依然会有这个思路的哈。
若要得到粒子的 $n $缝运动概率, 可以用如下推广后的公式
$${\color{Red} c_{n}^{n} x^{n+1}+c_{n}^{n-1} x^{n}+c_{n}^{n-2} x^{n-1}\ldots+c_{n}^{1} x^{2}-1=0}$$
其中, $c_{n}^{1} x^{2} $ 是粒子项或非干涉的经典项，表示粒子每次经过1条缝的概率，其余项是波动项或者有干涉的量子项，如$c_{n}^{n} x^{n+1}$是粒子每次经过$n$条缝的概率。
${\color{Red} 额，还没证明这个计算n缝概率的方程一定有介于0到1之间的正实数解。。。。}$

纯一个有意思的思考，不知正确性，若有错误，可以指教一二，勿喷哈。若有同感，欢迎探讨。

既然粒子是庞加莱群的不可约表示，那么弯曲时空中的一般坐标变换能不能在希尔伯特空间中表示来得到粒子态？
如题，本人目前只上过GR和群论，下学期上QFT和专门的微分几何(物理版)，看过一点点Weinberg

设$E$是有限维$k$-线性空间，这里$k$为代数闭域。$G$是$\text{GL}(E,k)$的一个子群，且满足$G$中所有元素都可以写成$I + N$的形式，这里$N$为幂零元，则$G$中所有矩阵有公共特征向量。

这个结果我感觉和“Lie's theorem: 如果$\mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}(V,\mathbb{C})$是一个可解李代数，则$\mathfrak{g}$有公共特征向量”非常类似，但是证明没法直接搬过来。

不确定这类帖子是应该放这个版还是茶馆_(:з」∠)_不合适我就移去隔壁

想了解一下国内现在数值相对论哪家哪些组比较强，楼主人在UK在做这方面的博后，打算待够三年就回国找工作，但是出门connection的时候不怎么见得着中国脸孔 /-_- ，所以想着坛里有没有做相近相关领域的可以简单介绍一下，什么信息都可以。

提前感谢各位大佬！

首先我们常规地定义killing形式K，然后设｛Xi｝是K下的一组正交基，即$K(X_i,X_j)=0$
然后定义卡西米尔算符$C=∑X_i^2$
然后我想得到两件事
1、C与任何生成元对易
2、C正比于单位算符
3、卡西米尔算符是哪个空间上的算符？
另外随便一问，关于universal enveloping algebra有无简简又单单的参考资料？看完这里我正好物理上是不是基本上就只使用半单李代数？这有没有什么原因？

关于1，我参考$su(2)$李代数操作，发现实际上是不行的，因为最后一步是要得到$f^i_{jk}(X_j\otimes X_k+X_k\otimes X_j)=0$这毫无疑问在一般情况下不一定正确，所以这里应当是要用到${X_i}$是正交基这回事，但是我实在是想不出 /TT

关于2，一些证明非常直接，不过按照某书说法
 a Casimir operator of g commutes with the entire g and thus is a multiple of identity in any irreducible representation of g by Schur’s lemma, and the multiple is the eigenvalue of the Casimir operator on the entire irreducible representation.
这句话似乎说可以用舒尔引理证明？然而这引发问题3

关于3，我是觉得是把卡西米尔元的表示认同成算符，但是如果2是对的，那这是否意味着卡西米尔元可以直接作为算符作用到李代数上？因为Schur引理说的是intertwiner的性质，所以这里的卡西米尔元是李代数g到某个空间的线性映射？

感谢各位解答

计划用树莓派做软路由，4B8G的如何。性能够么？功耗低么？

我使用的是高教版“现代数学基础”的版本，有疑问的地方在第二章的第一节，第20页的位置。其中说可由“反射对称性”推出$SAS$。定理和证明如下。

定理 3（s. a. s） 设$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup A'B'C'$有两边一夹角对应相等，即$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$\angle A = \angle A'$，则$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup A'B'C'$恒等，即还有$BC = B'C'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$。

证明 由于$\angle A = \angle A'$，因此存在着若干个反射对称的组合使$\angle A'$对应到$\angle A$，此时射线$\vec{A'B'}$对应到射线$\vec{AB}$，$\vec{A'C'}$对应到$\vec{AC}$，而由于反射对称是保长的，所以$B'$对应到$B$，$C'$对应到$C$，由此又可得到线段$B'C'$对应到$BC$，即$BC = B'C'$，因而，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$。

我的疑问在于$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$是从何得到的。从文本疏通来看，似乎是指得到$BC = B'C'$即可自然得到此结果。我试图通过等腰三角形两底角相等这一命题由此得到这个结果，但是发现SAS是等腰三角形两底角的证明中出现过的命题，所以是行不通的。还请勘破其中奥妙的坛友解惑！

各位好，我是一个20岁的学生，目前我似乎对自己的存在产生了一些疑惑（并不是疑惑是否存在，而是存在的状态与对自己的意义）。目前我通过一些阅读和一些身边的人，感觉似乎将他人融入到自己的存在之中会对自己的存在有所扩展。
但是我觉得这似乎是不是有些过于理想化了？毕竟人会因为物质世界和时间改变，将存在寄托于他人似乎有些过于“随意”，可是如果不这样，自己的存在似乎也只有存活本身，所谓的产出等等似乎都是社会的规训，而并没有真正找到本身想要的。
所以我想问下各位前辈，您们如何看待将他人融入自己的存在呢？以及如何扩展自己的存在呢？（似乎平日生活中没有很多拓展的机会，也并没有这种来有意拓展的”仪式感“，有些被现实经济和“每个年纪该做的事”限制住了）

考虑一个流形的余切丛作为辛流形，配备典范辛形式，有没有什么光滑向量场不是任何光滑函数$f$的Hamilton向量场的例子

做Tammo上习题的一个推论，因为形式非常漂亮就打算发一下。
定理： 设$G$为道路连通的拓扑群，$S^n$(n>2)上$G$-主丛的同构类与$\pi_{n-1}(G)$（即$[S^{n-1},G]$）间存在双射：设$p : E \rightarrow S^n$为一$G$-主丛，取上半球面$D_+$与下班球面$D_-$，由于$D_\pm$均可缩，$E|_{D_\pm}$均平凡，取$E$的一个局部平凡化$p_\pm : p^{-1}(D_\pm) \rightarrow D_\pm \times G$，对应的转移函数$p_-|_{S^{n-1}} \circ p_+^{-1}|_{S^{n-1}} : S^{n-1}=D_+ \cap D_- \rightarrow G$记作$\phi(E)$，则$E |\rightarrow \phi(E)$给出一个双射。
证明：任意转移函数$\phi : S^{n-1} \rightarrow G$可以粘出主丛$ (D_+ \times G \sqcup D_- \times G)/\sim$，其中$ (x,g,0) \sim (x,\phi(x)g,1) ,x \in S^{n-1}$，从而我们只需证明：1.同构的主丛给出同伦的转移函数 2.同伦的转移函数给出同构的主丛
先证1.：对于两主丛$p_1, p_2 : E_1 , E_2 \rightarrow S^n$，任取其在$D_\pm$上的局部平凡化$p_{1,\pm},p_{2,\pm}$与对应的转移函数$\phi_1,\phi_2$，$p_1$到$p_2$的$G$-映射$f$给出$s_\pm : D_\pm \rightarrow G$
（由于拓扑空间$X$之上的$G$-映射$X \times G \rightarrow X \times G$必定由$s : X \rightarrow G$给出，满足$f(x,g) = f(x,s(x)g)$），且满足$s_-(x)\phi_1(x) = \phi_2(x) s_+(x)$，从而有$ \phi_1(x) = s_-(x)^{-1} \phi_2(x) s_+(x)$（$x \in S^{n-1}$）由于$s_\pm$零伦，$\phi_1,\phi_2$同伦。
再证2.：从1.的证明中可以看出，如果我们能找到两个零伦映射$s_1,s_2 : S^{n-1} \rightarrow G$，使$\phi_2(x) = s_1(x)^{-1} \phi_1(x) s_2(x)$那么由于映射$f : S^{n-1} \rightarrow G$零伦等价于$f$可以延拓到$D^n$上，就可以逆向沿着1.的步骤走，得到$\phi_1$与$\phi_2$决定的主丛的一个同构，若$\phi_1$与$\phi_2$同伦，我们有$\phi_2 \circ \phi_{1}^{-1}$零伦，故命题得证。

设 $0<a<b$，证明：
$$
\frac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\frac1{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}
$$

哥们今天看到勾股定理是用面积推导时突发奇想，好奇面积公理化的严谨推导，希望有人能给予些帮助，顺便看看我自己对于面积体系的描述是否可靠。
$$
1.规定边长为一个单位长度的正方形面积为1，用有限划分推导出有理数正方形面积公式S=a^{2} ，
以及无理数正方形面积公式为S=\underset{r<a}{sup}^{2} \left \{ r|r为有理数 \right \} ；
2.用正方形划分及以上无理化有理得出矩形公式；
3.规定一切闭合曲线面积可用若干矩形拟合。
$$

家人们，实习去了。要三天速成SQL，求点好一点的网课和书推荐，是昨天电脑上还没有下这个软件的0级新手程度🆘

洛必达太难算了

在做数学竞赛题时，一道题目我转化到只需要证明
$$
ab+bc+cd+de+ea < \frac{(a+b+c+d+e)^2}{4}
$$
这个只需要利用轮换式取一个为最大即可，但我怀疑更强的命题似乎成立：
$$
ab+bc+cd+de+ea \le \frac{(a+b+c+d+e)^2}{5}
$$
然后我从最简单的情况开始尝试证明

1. $ ab+ba \le \frac{(a+b)^2}{2}$

转化为$(a-b)^2 \ge 0$即可

2. $ ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3}$

转化为$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$即可

3. $ ab+bc+cd+de \le \frac{(a+b+c+e)^2}{4}$

这个困扰了我一段时间，但还是证出来了

配两次方，转化为$(a+b-c-d)^2 \ge 0$

4. $ab+bc+cd+de+ea \le \frac{(a+b+c+d+e)^2}{5}$

这个就超出我的能力范围了

其实，我很好奇是否有
$$
 {\textstyle \sum_{cyc}} ab \ge \frac{({\textstyle \sum_{cyc}a})^2}{n}
$$

这里是温伯格《量子场论》第二卷（至第21章）中译
有翻译排版不妥之处请联系[email protected]或在此帖下回复。